题目内容

有一家公司准备裁减人员．已知这家公司现有职员4a（40＜a＜120，a∈Z）人，每人每年可创纯利5万元．据评估，在经营条件不变的前提下，每裁员1人，则留岗职员每人每年多创纯利0.1万元，但公司需付下岗职员生活费等每人每年4万元，并且该公司正常运转所需人数不得少于现有职员的 $数学公式$ ．
（Ⅰ）若该公司裁减x人，可获得的经济效益为y万元，求y关于x的函数关系式；
（Ⅱ）该公司为获得最大的经济效益，应裁员多少人？

解：（ I）设裁员x人，可获得的经济效益为y万元，则y=（4a-x）（5+0.1x）-4x．
整理得 $\text{[math]}$ …（5分）
又由该公司正常运转所需人数不得少于现有职员的 $\text{[math]}$ ，
所以 $\text{[math]}$ ，即0＜x≤a…（7分）
（Ⅱ）因函数 $\text{[math]}$ 的对称轴方程为x=2a-45．
由二次函数的图象可知：
当x＜2a-45时，函数 $\text{[math]}$ 是递增的；
当x＞2a-45时，函数 $\text{[math]}$ 是递减的．
∵0＜x≤a．且40＜a≤120
∴①当0＜2a-45≤a，即40＜a≤45时，x=2a-45时，
函数 $\text{[math]}$ 取得最大值…（10分）
②当2a-45＞a，即45＜a＜120时，x=a时，
函数 $\text{[math]}$ 取得最大值…（12分）
综上所述：当40＜a≤45时，应裁员（2a-45）人；当45＜a＜120时，应裁员a人，公司才能获得最大的经济效益…（13分）
分析：（ I）设裁员x人，根据每裁员1人，则留岗职员每人每年多创纯利0.1万元，但公司需付下岗职员生活费等每人每年4万元，可得经济效益的函数，利用该公司正常运转所需人数不得少于现有职员的 $\text{[math]}$ ，确定函数的定义域；
（Ⅱ）确定函数的对称性，分类讨论，确定函数的最值，即可得到结论．
点评：本题考查函数模型的构建，考查分类讨论的数学思想，考查学生利用数学知识解决实际问题的能力，属于中档题．