Question

设命题p：f（x）=

2

x-m

在区间（2，+∞）上是减函数；命题q：x₁，x₂是x²-ax-2=0（a∈[-1，1]）的两个实根，不等式m²+5m+3≥|x₁-x₂|对任意a∈[-1，1]都成立．若“p且q为真”，试求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：分别求出命题p，q为真命题的等价条件，然后利用“p且q”是真命题，求实数a的取值范围即可．

解答：解：因为f（x）=

2

x-m

在区间（2，+∞）上是减函数；
所以m≤2，即命题p：m≤2…（3分）
命题q：|x1 -x2|=

(x1 +x2)2-4x1 x2

=

a2+8

≤3
∴m²+5m+3≥3，∴m≤-5或m≥0，即q：m≤-5或m≥0…（8分）
若“p且q为真”，则p真且q为真，
∴

m≤2 m≤-5 ，或m≥0

即m∈（-∞，-5]∪[0，2]…（12分）

点评：本题主要考查全称命题和特称命题的应用以及复合命题的真假关系，比较基础．