Question

如图所示，已知D为△ABC的BC边

上一点，⊙O₁经过点B，D，交AB于另一点E，⊙O₂经过

点C，D，交AC于另一点F，⊙O₁与⊙O₂交于点G.

（1）求证：∠EAG=∠EFG；

（2）若⊙O₂的半径为5，圆心O₂到直线AC的距离为3，AC=10，AG切⊙O₂于G，求线段AG的长.

Answer 1

（1）证明略（2）AG=2.

解析:

（1）证明  连接GD，因为四边形BDGE，CDGF分别内接于⊙O₁，⊙O₂，∴∠AEG=∠BDG，∠AFG=∠CDG，

又∠BDG+∠CDG=180°，∴∠AEG+∠AFG=180°.

即A，E，G，F四点共圆，∴∠EAG=∠EFG.

（2）解  因为⊙O₂的半径为5，圆心O₂到直线AC的距离为3，所以由垂径定理知FC=2=8，又AC=10,∴AF=2,∵AG切⊙O₂于G，∴AG²=AF·AC=2×10=20,AG=2.