Question

5．如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D、E分别是AB、BB₁的中点．
（Ⅰ）证明：BC₁∥平面A₁CD；
（Ⅱ）设AA₁=AC=CB=2，AB=2$\sqrt{2}$，求四棱锥C-A₁ABE的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连接AC₁ 交A₁C于点F，则DF为三角形ABC₁的中位线，故DF∥BC₁．再根据直线和平面平行的判定定理证得BC₁∥平面A₁CD；
（Ⅱ）由题意可得此直三棱柱的底面ABC为等腰直角三角形，由D为AB的中点可得CD⊥平面ABB₁A₁．求得CD的值，利用$\frac{1}{3}×\frac{（A{A}_{1}+BE）×AB}{2}×CD$运算求得结果．

解答 （Ⅰ）证明：连接AC₁ 交A₁C于点F，则F为AC₁的中点．
∵直棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D，E分别是AB，BB₁的中点，故DF为三角形ABC₁的中位线，故DF∥BC₁．
由于DF?平面A₁CD，而BC₁不在平面A₁CD中，故有BC₁∥平面A₁CD．
（Ⅱ）解：∵AA₁=AC=CB=2，AB=2$\sqrt{2}$，
∴此直三棱柱的底面ABC为等腰直角三角形．
由D为AB的中点可得CD⊥平面ABB₁A₁ ，∴CD=$\sqrt{2}$．
∴四棱锥C-A₁ABE的体积V=$\frac{1}{3}×\frac{（A{A}_{1}+BE）×AB}{2}×CD$=$\frac{1}{3}×3\sqrt{2}×\sqrt{2}$=2

点评 本题主要考查直线和平面平行的判定定理的应用，求三棱锥的体积，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．