Question

已知：点P与点F（2，0）的距离比它到直线x+4=0的距离小2，若记点P的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程．    
（2）若直线L与曲线C相交于A、B两点，且OA⊥OB．求证：直线L过定点，并求出该定点的坐标．

Answer 1

分析：（1）解法（一）：点P与点F（2，0）的距离比它到直线x+4=0的距离小2，所以点P与点F（2，0）的距离与它到直线x+2=0的距离相等．由抛物线定义能求出曲线C的方程．
解法（二）：设动点P（x，y），则

(x-2)2+y2

=|x+4|-2．再由绝对值性质分类讨论，能求出曲线C的方程．（2）设直线L：y=kx+b与抛物线的交点为（x₁，y₁），（x₂，y₂）．若L斜率存在，设斜率为k，则

y=kx+b y2=8x

，能导出L过定点（8，0）；若L斜率不存在，则OA的斜率为1，

y=k y2=8x

，得x=8，即直线L过（8，0）．

解答：（1）解法（一）：点P与点F（2，0）的距离比它到直线x+4=0的距离小2，
所以点P与点F（2，0）的距离与它到直线x+2=0的距离相等．
由抛物线定义得：点p在以F为焦点直线x+2=0为准线的抛物线上，
抛物线方程为y²=8x．
解法（二）：设动点P（x，y），则

(x-2)2+y2

=|x+4|-2
当x≤-4时，（x-2）²+y²=（-x-6）²，化简得：y²=8（x+2），显然x≥-2，但x≤-4，故此时曲线不存在；
当x＞-4时，（x-2）²+y²=（x+2）²，化简得：y²=8x．
（2）设直线L：y=kx+b与抛物线的交点为（x₁，y₁），（x₂，y₂）
①若L斜率存在，设斜率为k，则

y=kx+b y2=8x

，整理后得ky²-8y+8b=0，且

k≠0 △=64-32kb≥0

y1y2=

8b

k

，又

y12=8x1 y22=8x2

，得x1x2=

y12y22

64

=

b2

k2

由OA⊥OB，得

y1

x1

•

y2

x2

=-1，即

8k

b

=-1，b=-8k
直线为y=k（x-8），所以L过定点（8，0）；
②若L斜率不存在，则OA的斜率为1，

y=k y2=8x

，得x=8，即直线L过（8，0）；
综上：直线恒过定点（8，0）．

点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与抛物线的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．