题目内容
某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数:
①sin213°+cos217°-sin13°cos17°;
②sin215°+cos215°-sin15°cos15°;
③sin218°+cos212°-sin18°cos12°;
④sin2(-18°)+cos248°-sin(-18°)cos48°;
⑤sin2(-25°)+cos255°-sin(-25°)cos55°.
(1)试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数;
(2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论.
(1);(2)详见解析.
【解析】
试题分析:(Ⅰ)选择(2),由sin215°+cos215°-sin15°cos15°=1-sin30°=
,可得这个常数的值.
(Ⅱ)推广,得到三角恒等式sin2α+cos2(30°-α)-sinαcos(30°-α)=.
证明方法一:直接利用两角差的余弦公式代入等式的左边,化简可得结果.
证明方法二:利用半角公式及两角差的余弦公式把要求的式子化为 ,
即,化简可得结果.
试题解析:法一:(1)选择②式,计算如下:
4分
(2)三角恒等式为 6分
证明如下:
12分
法二:(1)同法一.
(2)三角恒等式为
证明如下:
.
考点:1.分析法和综合法;2.归纳推理..

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