题目内容

对于三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0).

定义:(1)设是函数y=f(x)的导数的导数,若方程=0有实数解x0,则称点(x0,f(x0))为函数y=f(x)的“拐点”;

定义:(2)设x0为常数,若定义在R上的函数y=f(x)对于定义域内的一切实数x,都有f(x0+x)+f(x0-x)=2f(x0)成立,则函数y=f(x)的图象关于点(x0,f(x0))对称.

己知f(x)=x3-2x2+2,请回答下列问题:

(1)求函数f(x)的“拐点”A的坐标

(2)检验函数f(x)的图象是否关于“拐点”A对称,对于任意的三次函数写出一个有关“拐点”的结论(不必证明)

(3)写出一个三次函数G(x),使得它的“拐点”是(-1,3)(不要过程)

答案:
解析:

  (1)依题意,得:

  . 2分

  由,即.∴,又

  ∴的“拐点”坐标是

  (2)由(1)知“拐点”坐标是.而

  

  =

  由定义(2)知:关于点对称.

  一般地,三次函数的“拐点”是,它就是的对称中心.(或者:任何一个三次函数都有拐点;任何一个三次函数都有对称中心;任何一个三次函数平移后可以是奇函数………)都可以给分

  (3)或写出一个具体的函数,如


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