Question

以点A（4，-3）为直角顶点的Rt△OAB中，|AB|=2|OA|且点B纵坐标大于0．
（1）求向量

.

AB

的坐标；
（2）求圆x²-6x+y²+2y=0关于直线OB对称的圆的方程．

Answer 1

分析：（1）设出

.

AB

=（μ，u），利用垂直和|AB|=2|OA|，B纵坐标大于0，求得μ，u．
（2）先求圆心和半径，再求对称圆心坐标，可得对称圆的方程．

解答：解：（1）设

.

AB

=（μ，u），则由

. |AB |=2 . OA . AB • . OA =0

得

μ=6 υ=8

或

μ=-6 υ=-8

由

.

OB

=

.

OA

+

.

AB

=（μ+4，u-3），且u-3＞0
∴u=8

.

AB

=（6，8）．
（2）圆x²-6x+y²+2y=0的标准方程是（x-3）²+（y+1）²=10
∴圆心为（3，-1），半径为

10

由（1）知B（10，5），直线OB的方程为y=

1

2

x
设（3，-1）关于OB的对称点为（x，y）则

x+3 2 -2 y-1 2 =0 y+1 x-3 =-2

∴

x=1 y=3

∴所求圆方程为（x-1）²+（y-3）²=10．

点评：本题考查平面向量的数量积，垂直的条件，点关于直线对称的点的坐标的求法，是中档题，近年高考热点．