题目内容
下列不等式
①已知a＞0，b＞0，则(a+b)(
+
)≥4；
②a2+b2+3＞2a+2b；
③已知m＞0，则
＜
；
④
+
＜2
(a＞1)．
其中恒成立的是
①已知a＞0，b＞0，则(a+b)(
| 1 |
| a |
| 1 |
| b |
②a2+b2+3＞2a+2b；
③已知m＞0，则
| b |
| a |
| b+m |
| a+m |
④
| a-1 |
| a+1 |
| a |
其中恒成立的是
①②④
①②④
．（把所有成立不等式的序号都填上）分析：逐个判断：选项①由基本不等式可证；选项②可通过作差然后配方来证明；选项③可举反例说明不对；选项④可通过平方作差法证明．
解答：解：选项①∵a＞0，b＞0，∴(a+b)(
+
)=2+
+
≥2+2
=4，
当且仅当a=b时取等号，故(a+b)(
+
)≥4成立；
选项②，∵a2+b2+3-（2a+2b）=a2-2a+1+b2-2b+1+1=（a-1）2+（b-1）2+1≥1
∴a2+b2+3＞2a+2b恒成立；
选项③，∵
-
=
=
，∴当a=b时，式子为0，
故
＜
不一定成立；
选项④，∵a＞1，∴（
+
）2-（2
）2=a-1+a+1+2
-4a=2（
-a）
而
-a＜0，因为a2-1-a2=-1＜0，故
+
＜2
成立．
故答案为：①②④
| 1 |
| a |
| 1 |
| b |
| b |
| a |
| a |
| b |
|
当且仅当a=b时取等号，故(a+b)(
| 1 |
| a |
| 1 |
| b |
选项②，∵a2+b2+3-（2a+2b）=a2-2a+1+b2-2b+1+1=（a-1）2+（b-1）2+1≥1
∴a2+b2+3＞2a+2b恒成立；
选项③，∵
| b |
| a |
| b+m |
| a+m |
| b(a+m)-a(b+m) |
| a(a+m) |
| m(b-a) |
| a(a+m) |
故
| b |
| a |
| b+m |
| a+m |
选项④，∵a＞1，∴（
| a-1 |
| a+1 |
| a |
| a2-1 |
| a2-1 |
而
| a2-1 |
| a-1 |
| a+1 |
| a |
故答案为：①②④
点评：本题为不等式的证明，涉及基本不等式和作差法比较大小，属基础题．
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，0＜x＜a，给出下列不等式：
．
时，证明函数y=f（x）图象在点
处切线的下方；
，且a+b+c=1，证明：
”；
的最大值．（只指出正确结论，不要求证明）