题目内容

已知复数z满足|2z+ $数学公式$ |=1，则z的幅角主值范围是________．

[ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ arccos $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ arccos $\text{[math]}$ ]∪[ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ arccos $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ arccos $\text{[math]}$ ]
分析：利用复数的三角形式可转化为关于r的一元二次方程有正根，从而可求得z的幅角主值范围．
解答：设z=r（cosθ+isinθ），则|2z+ $\text{[math]}$ |=1?4r⁴+（4cos2θ-1）r²+1=0，
这个等式成立等价于关于x的二次方程4x²+（4cos2θ-1）x+1=0有正根．
△=（4cos2θ-1）²-16≥0，
∴16cos²2θ-8cos2θ-15≥0，
∴cos2θ≤- $\text{[math]}$ 或cos2θ≥ $\text{[math]}$ （舍去）．
又x₁x₂= $\text{[math]}$ ＞0，
故必须x₁+x₂=- $\text{[math]}$ ＞0．
∴cos2θ＜ $\text{[math]}$ ．
∴cos2θ≤- $\text{[math]}$ ，
∴（2k+1）π-arccos $\text{[math]}$ ≤2θ≤（2k+1）π+arccos $\text{[math]}$ ．
∴kπ+ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ arccos $\text{[math]}$ ≤θ≤kπ+ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ arccos $\text{[math]}$ ，（k=0，1）．
故答案为：[ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ arccos $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ arccos $\text{[math]}$ ]∪[ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ arccos $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ arccos $\text{[math]}$ ]
点评：本题考查复数的基本概念，着重考查复数三角形式的应用，考查一元二次方程的根，考查转化思想与运算能力．