Question

经市场调查，某商场的一种商品在过去的一个月内（以30天计）销售价格f（t）（元）与时间t（天）的函数关系近似满足f(t)=100(1+

k

t

)（k为正常数），日销售量g（t）（件）与时间t（天）的函数关系近似满足g（t）=125-|t-25|，且第25天的销售金额为13000元．
（Ⅰ）求k的值；
（Ⅱ）试写出该商品的日销售金额w（t）关于时间t（1≤t≤30，t∈N）的函数关系式；
（Ⅲ）该商品的日销售金额w（t）的最小值是多少？

Answer 1

分析：（1）由第25天的销售金额为13000元，我们易得f（25）•g（25）=13000，将f(t)=100(1+

k

t

)、g（t）=125-|t-25|代入易得K值．
（2）由（1）的结论，将K代入f(t)=100(1+

k

t

)、g（t）=125-|t-25|，即可得到商品的日销售金额w（t）关于时间t（1≤t≤30，t∈N）的函数关系式；
（3）由（2）的结论，判断函数的单调性不难判断函数的最小值，即该商品的日销售金额w（t）的最小值．

解答：解：（Ⅰ）由题意，得f（25）•g（25）=13000，
即100(1+

k

25

)•125=13000，解得k=1
（Ⅱ）w(t)=f(t)•g(t)=100(1+

1

t

)(125-|t-25|)
=

100(t+ 100 t +101) 100(149+ 150 t -t)

(1≤t＜25，t∈N) (25≤t≤30，t∈N)

（Ⅲ）①当1≤t＜25时，因为t+

100

t

≥20，
所以当t=10时，w（t）有最小值12100
②当25≤t≤30时，∵

150

t

-t在[25，30]上递减，
∴当t=30时，w（t）有最小值12400
∵12100＜12400，∴当t=10时，
该商品的日销售金额w（t）取得最小值为12100

点评：函数的实际应用题，我们要经过析题→建模→解模→还原四个过程，在建模时要注意实际情况对自变量x取值范围的限制，解模时也要实际问题实际考虑．将实际的最大（小）化问题，利用函数模型，转化为求函数的最大（小）是最优化问题中，最常见的思路之一．