Question

函数f（x）=k•a^-x（k，a为常数，a＞0且a≠1）的图象过点A（0，1），B（3，8）
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若函数g(x)=

f(x)+b

f(x)-1

是奇函数，求b的值；
（3）在（2）的条件下判断函数g（x）的单调性，并用定义证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）根据A（0，1），B（3，8）在函数图象，把点的坐标代入解析式列出方程组，求出k、a的值；
（2）由（1）求出g（x）的解析式和定义域，再根据奇函数的定义g（x）=-g（-x）列出关于b的等式，由函数的定义域求出b的值；
（3）利用分离常数法化简函数解析式，先判断出在定义域上的单调性，再利用取值-作差-变形-判断符号-下结论，证明函数的单调性．

解答：解：（1）∵函数的图象过点A（0，1），B（3，8）
∴

k=1 k•a-3=8

，解得k=1，a=

1

2

，
∴f（x）=2^x

（2）由（1）得，g(x)=

f(x)+b

f(x)-1

=

2x+b

2x-1

，则2^x-1≠0，解得x≠0，
∴函数g（x）定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）
∵函数g（x）是奇函数
∴g(-x)=

2-x+b

2-x-1

=-g(x)=-

2x+b

2x-1

，
∴

2x(2-x+b)

2x(2-x-1)

=-

2x+b

2x-1

，即

1+b•2x

1-2x

=

2x+b

1-2x

，
∴1+b•2^x=2^x+b，即（b-1）•（2^x-1）=0
对于x∈（-∞，0）∪（0，+∞）恒成立，∴b=1

（3）由（2）知，g(x)=

2x+1

2x-1

=

2x-1+2

2x-1

=1+

2

2x-1

，且x∈（-∞，0）∪（0，+∞）
当x＞0时，g（x）为单调递减的函数；当x＜0时，g（x）也为单调递减的函数，
证明如下：
设0＜x₁＜x₂，则g(x1)-g(x2)=

2

2x1-1

-

2

2x2-1

=

2(2x2-2x1)

(2x1-1)(2x2-1)

∵0＜x₁＜x₂，∴2x1-1＞0，2x2-1＞0，2x2-2x1＞0，
∴g（x₁）＞g（x₂），即g（x）为单调递减的函数
同理可证，当x＜0时，g（x）也为单调递减的函数．

点评：本题是函数性质的综合题，考查了用待定系数法求函数解析式，利用奇函数的定义求值，用定义法证明函数的单调性；注意函数的定义域优先，并且函数的单调区间不能并在一起，这是易错的地方．