题目内容

（选做题）已知直线的极坐标方程为ρsin(θ+
π
4
)=
2
2
，圆M的参数方程为
x=2cosθ
y=-2+2sinθ
(θ为参数）．
（Ⅰ）求圆M上的点到直线的距离的最小值；
（Ⅱ）若过点C（2，0）的直线l与圆M交于A、B两点，且
CA
=
AB
，求直线l的斜率．
分析：（1）把圆的参数方程化为普通方程，把直线的极坐标方程化为直角坐标方程，求出圆心到直线的距离，把此距离再减去半径，即得所求．
（2）设出直线l的参数方程，代入圆M的方程化简，根据参数的几何意义以及韦达定理，求得cosθ+sinθ=
3
2
4
，再利用同角三角函数的基本关系求出tanθ的值，即为所求．
解答：解：（1）圆M的普通方程为x2+（y+2）2=4，圆心M（0，-2），半径等于2．直线的极坐标方程ρsin(θ+
π
4
)=
2
2
，即x+y-1=0．
圆心到直线x+y-1=0的距离d=
3
2
2
，
∴圆M上的点到直线的距离的最小值为
3
2
2
-2．
（2）设直线l的参数方程是
x=2+tcosθ
y=tsinθ
(t为参数），代入圆M的方程得：t2+（4cosθ+4sinθ）t+4=0，
由t的几何意义及
CA
=
AB
知，t1=2t2且t1+t2=-4cosθ-4sinθ，t1t2=4．
结合几何图形知，t＜0，∴t1=2t2=-2
2
，
∴-4cosθ-4sinθ=-3
2
，即cosθ+sinθ=
3
2
4
．
∴sinθcosθ=
1
16
，∴tanθ=4±
15
，
∴直线l的斜率是4±
15
．
点评：本题主要考查把参数方程化为普通方程的方法，参数的几何意义，把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式的应用，直线和圆的位置关系的应用，属于基础题．
练习册系列答案
相关题目
（坐标系与参数方程选做题） 已知直线的极坐标方程为ρsin(θ+
π
4
)=
2
2
，则点A(2，
7π
4
)到这条直线的距离为
 
．
（2012•增城市模拟）（坐标系与参数方程选做题）已知直线的极坐标方程为ρsin(θ+
π
4
)=
2
2
，则点（0，0）到这条直线的距离是
2
2
2
2
．

（坐标系与参数方程选讲选做题）
已知直线的参数方程为：（为参数），圆的极坐标方程为，则直线与圆的位置关系为      .

（坐标系与参数方程选讲选做题）

已知直线的参数方程为：（为参数），圆的极坐标方程为，则直线与圆的位置关系为       .

 

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网