题目内容

考查复合函数求导的基础知识以及导数知识的综合应用.
已知函数f(x)=ln(ax+1)+
1-x1+x
,x≥0
,其中a>0.
(1)若f(x)在x=1处取得极值,求a的值;
(2)若f(x)的最小值为1,求a的取值范围.
分析:(1)求出f′(x),因为函数在x=1处取极值,所以f'(1)=0求出a即可;
(2)求出f′(x),再进行分类讨论:当a≥2时,f(x)在区间(0,+∞)上递增,f(x)的最小值为f(0)=1.
当0<a<2时,可确定f(x)的单调减区间,单调增区间从而可知,f(x)在x=
2-a
a
处取得最小值,不合,故可求a的取值范围.
解答:解:(1)f′(x)=
a
ax+1
-
2
(1+x)2
=
ax2+a-2
(ax+1)(1+x)2

因f(x)在x=1处取得极值,故f'(1)=0,解得a=1 (经检验).…(4分)
(2)f′(x)=
ax2+a-2
(ax+1)(1+x)2
,因x≥0,a>0,故ax+1>0,1+x>0.
当a≥2时,在区间(0,+∞)上f'(x)≥0,f(x)递增,f(x)的最小值为f(0)=1.
当0<a<2时,由f'(x)>0,解得x>
2-a
a
;由f'(x)<0,解得x<
2-a
a

∴f(x)的单调减区间为(0,
2-a
a
)
,单调增区间为(
2-a
a
,+∞)

于是,f(x)在x=
2-a
a
处取得最小值f(
2-a
a
)<f(0)=1
,不合.
综上可知,若f(x)得最小值为1,则a的取值范围是[2,+∞).…(10分)
注:不检验不扣分.
点评:本题以函数为载体,考查学生利用导数研究函数极值的能力,考查复合函数求导的基础知识以及导数知识的综合应用,注意分类讨论思想的运用
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