Question

在经济快速发展过程中．乙工厂（以下简称乙方）生产须占用甲农场（以下简称甲方）的资源，因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定的净收入．已知在不赔付甲方的情况下，乙方的年利润x（元）与年产t（吨）满足函教关系x=2000

t

．甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额y=0.002t²（元），且乙方每生产一吨产品必须赔付甲方s元（以下s为赔付价格）．
（1）求乙方获得最大利润时的年产t（吨）与赔付价格s（元）满足的关系式；
（2）若在乙方按照获得最大利润的年产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格s是多少？

Answer 1

分析：（1）由已知中赔付价格为s元/吨，所以乙方的实际年利润为w=2000

t

-st．利用导数法易求出乙方取得最大年利润的年产量，从而得出乙方获得最大利润时的年产t（吨）与赔付价格s（元）满足的关系式；
（2）由已知得，若甲方净收入为v元，则v=st-0.002t²．再由x=2000

t

．可以得到甲方净收入v与赔付价格s之间的函数关系式，利用导数法，求出答案．

解答：解：（1）因为赔付价格为s元/吨，所以乙方的实际年利润为w=2000

t

-st．
由w′=

1000

t

-s=

1000-s t

t

，
令w'=0，得t=t₀=（

1000

s

）²．
当t＜t₀时，w'＞0；当t＞t₀时，w'＜0，
所以t=t₀时，w取得最大值．
因此乙方取得最大年利润的年产量t₀为（

1000

s

）²（吨）；
∴乙方获得最大利润时的年产t（吨）与赔付价格s（元）满足的关系式t=（

1000

s

）²（吨）；
（2）设甲方净收入为v元，则v=st-0.002t²．
将t=（

1000

s

）²代入上式，得到甲方净收入v与赔付价格s之间的函数关系式v=

106

s

-

2

s4

×109．
又v′=

106×(8000-s3)

s5

，
令v'=0，得s=20．
当s＜20时，v'＞0；当s＞20时，v'＜0，
所以s=20时，v取得最大值．
因此甲方应向乙方要求赔付价格s=20（元/吨）时，获最大净收入．

点评：函数的实际应用题，我们要经过析题→建模→解模→还原四个过程，在建模时要注意实际情况对自变量x取值范围的限制，解模时也要实际问题实际考虑．将实际的最大（小）化问题，利用函数模型，转化为求函数的最大（小）是最优化问题中，最常见的思路之一．