Question

13．已知△ABC中，∠A、B、C所对的边分别为a、b、c，tanC=$\frac{\sqrt{3}cosB+sinB}{\sqrt{3}sinB-cosB}$
（1）求A；
（2）若b=5，△ABC面积为15$\sqrt{3}$，求$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{CB}$．

Answer 1

分析 （1）已知等式右边分子分母除以cosB，利用同角三角函数间基本关系变形，再利用两角和与差的正切函数公式化简，整理求出B+C的值，即可求出A的度数；
（2）利用三角形面积公式列出关系式，把b，sinA以及已知面积代入求出c的值，再利用余弦定理求出a的值，进而求出cosC的值，利用平面向量的数量积运算法则即可求出所求式子的值．

解答 解：（1）由tanC=$\frac{\sqrt{3}cosB+sinB}{\sqrt{3}sinB-cosB}$，变形得：tanC=$\frac{\sqrt{3}+tanB}{\sqrt{3}tanB-1}$=-$\frac{tan60°+tanB}{1-tan60°tanB}$=-tan（60°+B），
整理得：-C+180°=60°+B，即B+C=120°，
则A=60°；
（2）∵b=5，△ABC面积为15$\sqrt{3}$，
∴$\frac{1}{2}$bcsinA=15$\sqrt{3}$，即$\frac{1}{2}$×5c×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=15$\sqrt{3}$，
解得：c=12，
由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA=25+144-60=109，即a=$\sqrt{109}$，
∴cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{109+25-144}{10\sqrt{109}}$=-$\frac{\sqrt{109}}{109}$，
则$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{CB}$=abcosC=$\sqrt{109}$×5×（-$\frac{\sqrt{109}}{109}$）=-5．

点评 此题考查了余弦定理，三角形面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．