Question

若为常数，且。

（Ⅰ）求对所有的实数成立的充要条件（用表示）；

（Ⅱ）设为两实数，且，若，求证：在区间上的单调增区间的长度和为（闭区间的长度定义为）。

Answer 1

（Ⅰ）

（Ⅱ）证明见解析。

解析:

本小题考查充要条件、指数函数与绝对值、不等式的综合运用。

（I）恒成立

若，则，显然成立；若，记

当时，，

所以，故只需；

当时，，

所以，故只需。

（II）如果，则的图象关于直线对称，

因为，所以区间关于直线对称。

因为减区间为，增区间为，所以单调增区间的长度和为。

如果，结论的直观性很强。