Question

现有5名男生，4名女生（所有问题均用数字作答，否则视为无效答案）
（1）若9名学生排成一排，请回答下列问题：
①要求女生必修站在一起，有多少种不同的排法？
②若4名女生互不相邻，有多少种不同的排法？
③若男生甲不站排头，女生乙不站排尾，有多少种不同的排法？
④若9名学生身高互不相同，最高的站中间，从中间向两边看身高依次降低，有多少种不同的站法？
（2）若从9名学生中任选3人，请回答下列问题：
⑤其中既有男生又有女生，有多少种不同的选法？
⑥其中有1名女生，2名男生，分别参加3项不同的义务工作，共有多少种不同的分工方法？

Answer 1

分析：（1）①把4个女生捆绑在一起，看成一个整体，方法有

A

4 4

种，再把它和另外5名男生进行排列，方法有

A

6 6

种，再根据分步计数原理求得不同的排列方法种数．
②先把5名男生排列，方法有

A

5 5

种，再把4个女生插入4个男生形成的6个空中，方法有

A

4 6

种，再根据根据分步计数原理，求得不同的排列方法数．
③若男生甲站排尾，则不同的方法数有

A

8 8

种，若男生甲不在排尾，则有

C

1 7

•

C

1 7

•

A

7 7

种不同的方法，根据分类计数原理求得结果．
④最高的站中间，从中间向两边看身高依次降低，有

C

4 8

•

C

4 4

种方法．
（2）⑤若从9名学生中任选3人，若其中2个男生一名女生，则有

C

2 5

•

C

1 4

种方法，若其中有2名女生一名男生，则有

C

2 4

•

C

1 5

种方法，再根据分类计数原理求得结果．
⑥其中有1名女生，2名男生，分别参加3项不同的义务工作，共有

C

2 5

•

C

1 4

•

A

3 3

种不同方法．

解答：解：（1）①把4个女生捆绑在一起，看成一个整体，方法有

A

4 4

种，再把它和另外5名男生进行排列，方法有

A

6 6

种，
根据分步计数原理可得，不同的排列方法共有

A

4 4

•

A

6 6

=17280种．
②先把5名男生排列，方法有

A

5 5

种，再把4个女生插入4个男生形成的6个空中，方法有

A

4 6

种，
根据分步计数原理，求得不同的排列方法共有

A

5 5

•

A

4 6

=43200种．
③若男生甲站排尾，则不同的方法数有

A

8 8

种，若男生甲不在排尾，则有

C

1 7

•

C

1 7

•

A

7 7

种不同的方法，
根据分类计数原理，不同的排列方法共有

A

8 8

+

C

1 7

•

C

1 7

•

A

7 7

=40320+5040=45360 种
④最高的站中间，从中间向两边看身高依次降低，则把最高的排在正中间，从剩余的人中，任意选出4人，按要求的顺序排在最高者的左边，
方法有

C

4 8

；剩下的4个人按要求的顺序排在最高者的右边，方法有

C

4 4

种，根据分步计数原理可得，共有

C

4 8

•

C

4 4

=70种方法．
（2）⑤若从9名学生中任选3人，若其中2个男生一名女生，则有

C

2 5

•

C

1 4

=40 种方法，若其中有2名女生一名男生，则有

C

2 4

•

C

1 5

=30种方法，
根据分类计数原理，不同的选法共有40+30=70种．
⑥其中有1名女生，2名男生，分别参加3项不同的义务工作，共有

C

2 5

•

C

1 4

•

A

3 3

=240种不同的方法．

点评：本题主要考查排列组合、两个基本原理的实际应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．