Question

设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且c=2

3

，C=

π

3

，
（I）若向量

m

=(1，sinA)与向量

n

=(2，sinB)共线，求△ABC的面积；
（II）求函数y=

m

•

n

的值域．

Answer 1

分析：（I）通过向量

m

=(1，sinA)与向量

n

=(2，sinB)共线，以及正弦定理余弦定理，直接求出a，b的值，然后求△ABC的面积；
（II）利用（Ⅰ）求出函数y=

m

•

n

的表达式，通过正弦定理求出A的正弦函数值，然后求出函数的值域．

解答：解：（Ⅰ）∵向量

m

=(1，sinA)与

n

=(2，sinB)共线，∴sinB-2sinA=0．
由正弦定理 

a

sinA

=

b

sinB

，得 b=2a，①
∵c=2

3

，由余弦定理得12=a² +b²-2abcos

π

3

，②
解方程组①②，得 a=2，b=4．
所以△ABC的面积：S=

1

2

absinC=

1

2

×2×4×

3

2

=2

3

．
（Ⅱ）函数y=

m

•

n

=2+sinAsinB=2+2sin²A．由（Ⅰ）可知a=2，c=2

3

，C

π

3

，所以由正弦定理

a

sinA

=

c

sinC

可知
sinA=

2× 3 2

2 3

=

1

2

，函数y=

m

•

n

=2+sinAsinB=2+2sin²A=2+2×

1

4

=

5

2

．
所以函数的值域为{y|y=

5

2

}．

点评：本题考查平面向量数量积的运算，平行向量与共线向量，正弦定理与余弦定理的应用，考查计算能力．