Question

已知椭圆的右准线l与x轴相交于点E，过椭圆右焦点F的直线与椭圆相交于A、B两点，点C在右准线l上，且BC∥x轴，求证直线AC经过线段EF的中点。

Answer 1

证明：依设，得椭圆的半焦距c=1，右焦点为F(1，0)，右准线方程为x=2，点E的坐标为(2，0)，
EF的中点为N(，0)，
若AB垂直于x轴，则A（1，y₁），B（1，-y₁），C（2，-y₁），
∴AC中点为N(，0)，即AC过EF中点N；
若AB不垂直于x轴，由直线AB过点F，且由BC∥x轴知点B不在x轴上，
故直线AB的方程为y=k（x-1），k≠0，
记A（x₁，y₁）和B（x₂，y₂），则C（2，y₂）且x₁，x₂满足二次方程，
即（1+2k²）x²-4k²x+2（k²-1）=0，
∴，
又x₁²=2-2y₁²＜2，得x₁-≠0，
故直线AN，CN的斜率分别为，
∴k₁-k₂=2k·，
∵（x₁-1）-（x₂-1）（2x₁-3）=3（x₁+x₂）-2x₁x₂-4=，
∴k₁-k₂=0，即k₁=k₂，
故A、C、N三点共线；
所以，直线AC经过线段EF的中点N。