Question

设是椭圆上的两点，已知向量，若且椭圆的离心率，短轴长为2，O为坐标原点.

（1）求椭圆的方程；

（2）试问△AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）△AOB的面积为定值1.

【解析】

试题分析：（1）由题可得，则椭圆方程为      3分

（2）当轴时：，则

由对称性只取.

△AOB的面积为        6分

当AB与x轴不垂直时，设AB：y =kx + m.

则

        8分

O到直线AB的距离：，S_△AOB    10分

又

   13分

S_△AOB

△AOB的面积为定值1.                  14分

考点：本题考查了椭圆的方程及直线与椭圆的位置关系

点评：椭圆的概念和性质，仍将是今后命题的热点，定值、最值、范围问题将有所加强；利用直线、弦长、圆锥曲线三者的关系组成的各类试题是解析几何中长盛不衰的主题，其中求解与相交弦有关的综合题仍是今后命题的重点；与其它知识的交汇(如向量、不等式)命题将是今后命题的一个新的重点、热点.