题目内容
ABCD-A1B1C1D1是单位正方体，黑白两只蚂蚁从点A出发沿棱向前爬行，每爬完一条棱称为“爬完一段”．白蚂蚁爬行的路线是AA1→A1D1，…，黑蚂蚁爬行的路线是AB→BB1，…，它们都遵循如下规则：所爬行的第i+2段与第i段所在直线必须是异面直线（i∈N*），设黑白蚂蚁都爬完2007段后各自停止在正方体的某个顶点处，则此时黑白蚂蚁的距离是（ ）
A．
B．1
C．0
D．
【答案】分析：先根据题意，先通过前几步爬行，观察黑蚂蚁与白蚂蚁经过几段后又回到起点，得到每爬6步回到起点，周期为6．再计算黑蚂蚁爬完2007段后实质是到达哪个点以及计算白蚂蚁爬完2007段后实质是到达哪个点，最后计算出它们的距离即可．
解答：解：由题意，黑蚂蚁爬行路线为AA1→A1D1→D1C1→C1C→CB→BA，
即过6段后又回到起点，可以看作以6为周期，
同理，白蚂蚁也是过6段后又回到起点．
所以黑蚂蚁爬完2004段后回到A点，再爬3段：AA1→A1D1→D1C1到达第三段的终点C1，
同理，白蚂蚁爬完2004段后到回到A点，再爬3段：AB→BB1→B1C1达第三段的终点C1．
所以它们此时的距离为0．
故选C．
点评：本题以一个创新例子为载体，考查归纳推理的能力、空间想象能力、异面直线的定义等相关知识，属于基础题．
解答：解：由题意，黑蚂蚁爬行路线为AA1→A1D1→D1C1→C1C→CB→BA，
即过6段后又回到起点，可以看作以6为周期，
同理，白蚂蚁也是过6段后又回到起点．
所以黑蚂蚁爬完2004段后回到A点，再爬3段：AA1→A1D1→D1C1到达第三段的终点C1，
同理，白蚂蚁爬完2004段后到回到A点，再爬3段：AB→BB1→B1C1达第三段的终点C1．
所以它们此时的距离为0．
故选C．
点评：本题以一个创新例子为载体，考查归纳推理的能力、空间想象能力、异面直线的定义等相关知识，属于基础题．
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已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，棱AB=BC=3，BB1=4，连接B1C，在CC1上有点E，使得A1C⊥平面EBD，BE交B1C于F．
在边长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别为AB与C1D1的中点．
（1）求证：四边形A1ECF是菱形；
（2）求证：EF⊥平面A1B1C；
（3）求A1B1与平面A1ECF所成角的正切值．
（1）求证：四边形A1ECF是菱形；
（2）求证：EF⊥平面A1B1C；
（3）求A1B1与平面A1ECF所成角的正切值．
如图，M，N，K分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB，CD，C1D1的中点．
如图，已知长方体ABCD-A1B1C1D1，AB=BC=1，BB1=2，连接B1C，过B点作B1C．已知正四棱柱ABCD―A1B1C1D1中，AB=2，AA1=3.
（I）求证：A1C⊥BD；
（II）求直线A1C与侧面BB1C1C所成的角的正切值；
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