题目内容
已知集合M是满足下列性质的函数f(x)的全体:存在非零常数T,对任意x∈R,有f(x+T)="T" f(x)成立.
(Ⅰ)函数f(x)=" x" 是否属于集合M?说明理由;
(Ⅱ)设函数f(x)=ax(a>0,且a≠1)的图象与y=x的图象有公共点,证明:f(x)=ax∈M;
(Ⅲ)若函数f(x)=sinkx∈M ,求实数k的值.
(Ⅰ)函数f(x)=" x" 是否属于集合M?说明理由;
(Ⅱ)设函数f(x)=ax(a>0,且a≠1)的图象与y=x的图象有公共点,证明:f(x)=ax∈M;
(Ⅲ)若函数f(x)=sinkx∈M ,求实数k的值.
(Ⅰ)f(x)=
(Ⅱ)因为函数f(x)=ax(a>0且a≠1)的图象与函数y=x的图象有公共点,
所以方程组:有解,消去y得ax=x,
显然x=0不是方程ax=x的解,所以存在非零常数T,使aT="T."
于是对于f(x)=ax有
故f(x)=ax∈M.
(Ⅲ)实数k的取值范围是{k|k= mπ, m∈Z}
(Ⅱ)因为函数f(x)=ax(a>0且a≠1)的图象与函数y=x的图象有公共点,
所以方程组:有解,消去y得ax=x,
显然x=0不是方程ax=x的解,所以存在非零常数T,使aT="T."
于是对于f(x)=ax有
故f(x)=ax∈M.
(Ⅲ)实数k的取值范围是{k|k= mπ, m∈Z}
(Ⅰ)把函数f(x)= x代入f(x+T)="T" f(x)不恒成立,所以 函数f(x)=" x" 不属于集合M;(Ⅱ)由函数 且的图象与函数的图象有公共点,可得,存在非零常数T,使.把函数代入f(x+T)="T" f(x),结合,可得函数属于集合M;(Ⅲ)先讨论实数是否为0,时显然成立;时,把函数代入整理得恒成立,所以.根据三角函数的诱导公式可得实数的值.
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