题目内容

已知动圆M经过点G（0，-1），且与圆Q：x²+（y-1）²=8内切．
（Ⅰ）求动圆M的圆心的轨迹E的方程．
（Ⅱ）以 $数学公式$ 为方向向量的直线l交曲线E于不同的两点A、B，在曲线E上是否存在点P使四边形OAPB为平行四边形（O为坐标原点）．若存在，求出所有的P点的坐标与直线l的方程；若不存在，请说明理由．

解：（Ⅰ）依题意，点G（0，-1）在圆Q：x²+（y-1）²=8内部，
动圆与定圆相内切，且动圆在定圆内部，
∴得| $\text{[math]}$ ，
可知M到两个定点G、Q的距离和为常数，并且常数大于|GQ|，所以P点的轨迹为椭圆，可以求得 $\text{[math]}$ ，c=1，b=1，
所以曲线E的方程为 $\text{[math]}$ ．…5分
（Ⅱ）假设E上存在点P，使四边形OAPB为平行四边形．
由（Ⅰ）可知曲线E的方程为 $\text{[math]}$ ．
设直线l的方程为 $\text{[math]}$ ，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
由 $\text{[math]}$ ，得 $\text{[math]}$ ，
由△＞0得m²＜4，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，…7分
则 $\text{[math]}$ ，y₁+y₂= $\text{[math]}$ ，E上的点P使四边形OAPB为平行四边形的充要条件是 $\text{[math]}$ ，
即P点的坐标为（x₁+x₂，y₁+y₂）
且 $\text{[math]}$ ，
又 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，所以可得2x₁x₂+y₁y₂+1=0，
可得m²=1，即m=1或m=-1．
当m=1时， $\text{[math]}$ ，直线l方程为 $\text{[math]}$ ；
当m=-1时， $\text{[math]}$ ，直线l方程为 $\text{[math]}$ ．
分析：（I）依题意，动圆与定圆相内切，得| $\text{[math]}$ ，可知M到两个定点G、Q的距离和为常数，根据椭圆的定义即可求得动点M（x，y）的轨迹E的方程；
（Ⅱ）假设存在在曲线E上是否存在点P使四边形OAPB为平行四边形，设出直线l的方程，联立直线和椭圆方程，利用平行四边形的充要条件结合韦达定理即可得出结论．
点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法，