题目内容
【题目】已知椭圆的左、右焦点分别是
,且离心率为
,点
为椭圆上的动点,
面积最大值为
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)是椭圆
上的动点,且直线
经过定点
,问在
轴上是否存在定点
,使得
若存在,请求出定点
,若不存在,请说明理由.
【答案】(1);(2)存在,
.
【解析】
(1)由离心率为和
面积可求出
的值,从而求出椭圆的标准方程;
(2)假设存在满足题意的定点,设
,因为
,则直线
与
斜率和为零,所以有
,通过化简可以得出
与
的关系,从而判断是否存在定点.
(1)面积最大值为:
,又
,
,解得:
.即:
,所以方程为:
.
(2)假设存在满足题意的定点,设
,
设直线的方程为,
.
由消去
,得
.
由直线过椭圆内一点
,故
恒成立,
由求根公式得:,
由,可得直线
与
斜率和为零.故
,
,
.所以
,
存在定点,当斜率不存在时定点
也符合题意.
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