题目内容
（一）已知a，b，c∈R+，
①求证：a2+b2+c2≥ab+bc+ac；
②若a+b+c=1，利用①的结论求ab+bc+ac的最大值．
（二）已知a，b，x，y∈R+，
①求证：
+
≥
．
②利用①的结论求
+
(0＜x＜
)的最小值．
①求证：a2+b2+c2≥ab+bc+ac；
②若a+b+c=1，利用①的结论求ab+bc+ac的最大值．
（二）已知a，b，x，y∈R+，
①求证：
| x2 |
| a |
| y2 |
| b |
| (x+y)2 |
| a+b |
②利用①的结论求
| 1 |
| 2x |
| 9 |
| 1-2x |
| 1 |
| 2 |
分析：（一）①从不等式的左边入手，左边对应的代数式的二倍，分别写成两两相加的形式，在三组相加的式子中分别用均值不等式，整理成最简形式，得到右边的2倍，两边同时除以2，得到结果．
②由①得1=（a+b+c）2=a2+b2+c2+2（ab+bc+ac）≥3（ab+bc+ac）从而求出ab+bc+ac的最大值；
（二）①利用分析法进行证明．要证
+
≥
，只要证(
+
)(a+b)≥(x+y)2左边展开利用基本不等式证明即可；
②由①的结论知：
+
≥
=16，从而求出最大值．
②由①得1=（a+b+c）2=a2+b2+c2+2（ab+bc+ac）≥3（ab+bc+ac）从而求出ab+bc+ac的最大值；
（二）①利用分析法进行证明．要证
| x2 |
| a |
| y2 |
| b |
| (x+y)2 |
| a+b |
| x2 |
| a |
| y2 |
| b |
②由①的结论知：
| 1 |
| 2x |
| 9 |
| 1-2x |
| (1+3)2 |
| 2x+1-2x |
解答：证明：（一）①a2+b2≥2ab，c2+b2≥2bc，a2+c2≥2ac，…（3分）
三式相加可得a2+b2+c2≥ab+bc+ac
当且仅当a=b=c时等号成立 …（6分）
②1=（a+b+c）2=a2+b2+c2+2（ab+bc+ac）≥3（ab+bc+ac）…（9分）
则ab+bc+ac≤
，当且仅当a=b=c时等号成立． …（12分）
（二）①要证
+
≥
，只要证(
+
)(a+b)≥(x+y)2，…（3分）
则(
+
)(a+b)=x2+y2+
+
≥x2+y2+2xy=(x+y)2，
当且仅当bx=ay时等号成立．故原不等式得证． …（6分）
②由①的结论知：
+
≥
=16，
当且仅当x=
时，等号成立． …（12分）
三式相加可得a2+b2+c2≥ab+bc+ac
当且仅当a=b=c时等号成立 …（6分）
②1=（a+b+c）2=a2+b2+c2+2（ab+bc+ac）≥3（ab+bc+ac）…（9分）
则ab+bc+ac≤
| 1 |
| 3 |
（二）①要证
| x2 |
| a |
| y2 |
| b |
| (x+y)2 |
| a+b |
| x2 |
| a |
| y2 |
| b |
则(
| x2 |
| a |
| y2 |
| b |
| bx2 |
| a |
| ay2 |
| b |
当且仅当bx=ay时等号成立．故原不等式得证． …（6分）
②由①的结论知：
| 1 |
| 2x |
| 9 |
| 1-2x |
| (1+3)2 |
| 2x+1-2x |
当且仅当x=
| 1 |
| 8 |
点评：本题考查均值不等式的应用，考查不等式的证明方法，是一个基础题，这种题目常常考虑分拆后利用基本不等式，因为题目分拆后才符合均值不等式的表现形式．
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