Question

对于函数f（x）=-3x²+k，当实数k属于下列选项中的哪一个区间时，才能确保一定存在实数对a，b（a＜b＜0），使得当函数f（x）的定义域为[a，b]时，其值域也恰好是[a，b]（　　）

• A．[-2，0）
• B．[-2，-

  1

  12

  ）
• C．（-

  1

  12

  ，+∞）
• D．（-

  1

  12

  ，0）

Answer 1

分析：函数f（x）=-3x²+k的图象开口向下，对称轴为y轴，若存在实数对a，b（a＜b＜0），此时函数单调递增，由题意得-3a²+k=a，-3b²+k=b，所以方程3t²+t-k=0有两个不等的负根a，b，进而可求实数k的区间．

解答：解：由题意，函数f（x）=32x²+k的图象开口向下，对称轴为y轴，函数图象在y轴右侧递减
若存在实数对a，b（a＜b＜0），使得当函数f（x）的定义域为[a，b]时，其值域也恰好是[a，b]，
则-3a²+k=a，-3b²+k=b．
∴方程3t²+t-k=0有两个不等的负根a，b
∴

△=1+12k＞0 a+b=- 1 3 ＜0 ab=- k 3 ＞0

，∴

k＞- 1 12 k＜0

，即-

1

12

＜k＜0．
故选D．

点评：本题主要考查函数的定义域与值域的关系，考查方程根的讨论，解题的关键是将问题转化为方程3t²+t-k=0有两个不等的负根a，b，利用根与系数之间的关系确定条件即可．