题目内容

给定椭圆C:,称圆心在原点O、半径是的圆为椭圆C的“准圆”.已知椭圆C的一个焦点为,其短轴的一个端点到点F的距离为
(1)求椭圆C和其“准圆”的方程;
(2)若点A是椭圆C的“准圆”与x轴正半轴的交点,B,D是椭圆C上的两相异点,且BD⊥x轴,求的取值范围;
(3)在椭圆C的“准圆”上任取一点P,过点P作直线l1,l2,使得l1,l2与椭圆C都只有一个交点,试判断l1,l2是否垂直?并说明理由.
【答案】分析:(1)利用椭圆和其“准圆”的标准方程及其定义即可得出;
(2)先设出点B、D的坐标并求出点A的坐标,利用向量的数量积得出,再利用点B在椭圆上即可得出其取值范围;
(3)通过分类讨论,假设在椭圆C的“准圆”上任取一点P作直线与椭圆相切,联立直线与椭圆的方程,利用根与系数的关系求出直线是否满足两条直线垂直的条件即可.
解答:解:(1)由题意可得:,b=1,∴r==2.
∴椭圆C的方程为,其“准圆”的方程为x2+y2=4;
(2)由“准圆”的方程为x2+y2=4,令y=0,解得x=±2,取点A(2,0).
设点B(x,y),则D(x,-y).
=(x-2,y)•(x-2,-y)=
∵点B在椭圆上,∴,∴
==
,∴
,即的取值范围为
(3)①当过准圆上点P的直线l与椭圆相切且其中一条直线的斜率为0而另一条斜率不存在时,则点P为,此时l1⊥l2
②当过准圆上的点P的直线l的斜率存在不为0且与椭圆相切时,设点P(x,y),直线l的方程为m(y-y)=x-x
联立消去x得到关于y的一元二次方程:

-=0,
化为
,m存在,∴m1m2=
∵点P在准圆上,∴,∴
∴m1m2═-1.
即直线l1,l2的斜率,因此当过准圆上的点P的直线l的斜率存在不为0且与椭圆相切时,直线l1⊥l2
综上可知:在椭圆C的“准圆”上任取一点P,过点P作直线l1,l2,使得l1,l2与椭圆C都只有一个交点,l1⊥l2
点评:熟练掌握椭圆和圆的标准方程及其定义、向量的数量积、直线与椭圆相切问题时联立直线与椭圆的方程得出根与系数的关系、两条直线垂直的条件是解题的关键.
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