题目内容

函数f（x）对任意x∈R都有 $数学公式$ 成立．
（Ⅰ）求和 $数学公式$ $数学公式$ （n∈N^*）的值；
（Ⅱ）数列{a_n}满足条件； $数学公式$ ，试证：数列{a_n}是等差数列．

解：（Ⅰ）∵f（x）对任意x∈R都有 $\text{[math]}$ 成立
∴ $\text{[math]}$ ，令 $\text{[math]}$ ，则有 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$
（Ⅱ）∵ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
两式相加可得， $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ．
所以数列{a_n} 是等差数列．
分析：（Ⅰ）由f（x）对任意x∈R都有 $\text{[math]}$ 成立可令 $\text{[math]}$ ，则可求 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$
（Ⅱ）由 $\text{[math]}$ 可得 $\text{[math]}$ ，利用倒序相加可求a_n，进而可证数列{a_n} 是等差数列．
点评：本题主要考查了利用赋值求抽象函数的函数值及利用倒序相加求解数列的和的方法的应用，要注意该方法是推倒等差数列的求和公式的方法．

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（1）求证：f（x）是奇函数；
（2）试问：在-n≤x≤n时（n∈N^*），f（x）是否有最大值？如果有，求出最大值，如果没有，说明理由．
（3）解关于x的不等式

f(b2x)-f(b)，(b＞0)．