题目内容

已知函数数学公式
(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间和极值;
(Ⅱ)已知对任意的x>0,ax(2-lnx)≤1恒成立,求实数a的取值范围;
(Ⅲ)是否存在实数a使得函数f(x)在[1,e]上最小值为0?若存在,试求出a的值;若不存在,请说明理由.

解:(Ⅰ)函数的定义域为(0,+∞)
求导函数可得
由f′(x)>0,可得;由f′(x)<0,可得
∴函数f(x)的单调增区间为,单调减区间为
时,函数取得极大值为
(Ⅱ)已知对任意的x>0,ax(2-lnx)≤1恒成立,则
①2-lnx>0时,恒成立


当lnx<1时,g′(x)<0,当1<lnx<2时,g′(x)>0,
∴lnx=1时,即x=e时,函数取得最小值为

②2-lnx<0时,恒成立


当2-lnx<0时,g′(x)>0,
∴函数在(e2,+∞)上单调增,函数无最大值,故此时不恒成立;
∴实数a的取值范围是
(Ⅲ)不存在a,使得函数f(x)在[1,e]上最小值为0
由(Ⅰ)知函数f(x)的单调增区间为,单调减区间为
,即,则函数f(x)在[1,e]上最小值为=0,
∴a=e,不满足题意
,即a>1,则函数f(x)在[1,e]上最小值为f(1)=1,不满足题意
综上知,不存在a,使得函数f(x)在[1,e]上最小值为0.
分析:(Ⅰ)函数的定义域为(0,+∞),求导函数,由f′(x)>0,可得函数f(x)的单调增区间;由f′(x)<0,可得函数的单调减区间,从而可求函数的极值;
(Ⅱ)已知对任意的x>0,ax(2-lnx)≤1恒成立,分类讨论①2-lnx>0时,恒成立;②2-lnx<0时,恒成立,研究右边函数的最值,即可求得实数a的取值范围;
(Ⅲ)不存在a,使得函数f(x)在[1,e]上最小值为0,利用函数f(x)的单调增区间为,单调减区间为,结合函数的定义域[1,e]进行分类讨论,从而可得结论.
点评:本题重点考查导数知识的运用,考查函数的单调性与极值,考查恒成立问题,考查分类讨论的数学思想,综合性强.
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