Question

某公司准备将100万元资金投入代理销售业务，现有A，B两个项目可供选择：
投资A项目一年后获得的利润X₁（万元）的概率分布列如下表所示：

X1	11	12	17
P	a	0.4	b

且X₁的数学期望E（X₁）=12；
投资B项目一年后获得的利润X₂（万元）与B项目产品价格的调整有关，B项目产品价格根据销售情况在4月和8月决定是否需要调整，两次调整相互独立且在4月和8月进行价格调整的概率分别为p（0＜p＜1）和1-p．经专家测算评估：B项目产品价格一年内调整次数X（次）与X₂的关系如下表所示：

X（次）		1	2
X2（万元）	4.12	11.76	20.40

（1）求a，b的值；
（2）求X₂的分布列；
（3）若E（X₁）＜E（X₂），则选择投资B项目，求此时 p的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）由题意得：由此能求出a，b的值．
（2）X₂的可能取值为4.12，11.76，20.40．分别求出P（X₂=4.12），P（X₂=11.76），P（X₂=20.40），由此能求出X₂的分布列．
（3）由（2）求出E（X₂）=-p²+p+11.76．因为E（X₁）＜E（X₂），所以12＜-p²+p+11.76．由此能求出当选择投资B项目时，p的取值范围．
解答：解：（1）由题意得：
解得：a=0.5，b=0.1．…（3分）
（2）X₂的可能取值为4.12，11.76，20.40．…（4分）
P（X₂=4.12）=（1-p）[1-（1-p）]=p（1-p），…（5分），…（7分）
P（X₂=20.40）=p（1-p）．…（8分）
所以X₂的分布列为：

X2	4.12	11.76	20.40
P	p （1-p）	p2+（1-p）2	p （1-p）

…（9分）
（3）由（2）可得：
=-p²+p+11.76．…（11分）
因为E（X₁）＜E（X₂），
所以12＜-p²+p+11.76．
所以0.4＜p＜0.6．
当选择投资B项目时，p的取值范围是（0.4，0.6）．…（12分）
点评：本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的应用，是中档题．在历年高考中都是必考题型，解题时要认真审题，注意概率知识的合理运用．