Question

设F是抛物线G：x²=4y的焦点．
（I）过点P（0，﹣4）作抛物线G的切线，求切线方程；
（II）设A，B为抛物线G上异于原点的两点，且满足，延长AF，BF分别交抛物线G于点C，D，求四边形ABCD面积的最小值．

Answer 1

解：（I）设切点 由，知抛物线在Q点处的切线斜率为，
故所求切线方程为即
因为点P（0，﹣4）在切线上
所以，x₀²=16，x₀=±4
所求切线方程为y=±2x﹣4
（II）设A（x₁，y₁），C（x₂，y₂）由题意知，
直线AC的斜率k存在，由对称性，不妨设k＞0因直线AC过焦点F（0，1），
所以直线AC的方程为y=kx+1点A，C的坐标满足方程组得x²﹣4kx﹣4=0，
由根与系数的关系知
因为AC⊥BD，所以BD的斜率为，从而BD的方程为同理可求得

当k=1时，等号成立． 所以，四边形ABCD面积的最小值为32．