题目内容
已知点列B1（1，b1），B2（2，b2），…，Bn（n，bn），…（n∈N?）顺次为抛物线y=
x2上的点，过点Bn（n，bn）作抛物线y=
x2的切线交x轴于点An（an，0），点Cn（cn，0）在x轴上，且点An，Bn，Cn构成以点Bn为顶点的等腰三角形．（1）求数列{an}，{cn}的通项公式；
（2）是否存在n使等腰三角形AnBnCn为直角三角形，若有，请求出n；若没有，请说明理由．
（3）设数列{
}的前n项和为Sn，求证：
≤Sn＜
．
【答案】分析：（1）利用导数，求得点Bn（n，bn）作抛物线y=
x2的切线方程，令y=0，可得an=
，根据点An，Bn，Cn构成以点Bn为顶点的等腰三角形，可得an+cn=2n，由此可求数列{an}，{cn}的通项公式；
（2）若等腰三角形AnBnCn为直角三角形，则|AnCn|=2bn，由此可知存在n=2，使等腰三角形A2B2C2为直角三角形；
（3）
=
=
=
（
-
），从而可求Sn=
（1-
），进而可知
≤Sn＜
．
解答：（1）解：∵y=
x2，∴y′=
，y′|x=n=
，
∴点Bn（n，bn）作抛物线y=
x2的切线方程为：y-
=
（x-n），
令y=0，则x=
，即an=
；（3分）
∵点An，Bn，Cn构成以点Bn为顶点的等腰三角形，
∴an+cn=2n，∴cn=2n-an=
（5分）
（2）解：若等腰三角形AnBnCn为直角三角形，则|AnCn|=2bn?
∴n=
，∴n=2，
∴存在n=2，使等腰三角形A2B2C2为直角三角形 （9分）
（3）证明：∵
=
=
=
（
-
）（11分）
∴Sn=
（1-
+
-
+…+
-
）=
（1-
）＜
又1-
随n的增大而增大，
∴当n=1时，Sn的最小值为：
（1-
）=
，
∴
≤Sn＜
（14分）
点评：本题考查导数的几何意义，考查裂项法求数列的和，考查不等式的证明，考查数列与解析几何的综合，属于中档题．
x2的切线方程，令y=0，可得an=，根据点An，Bn，Cn构成以点Bn为顶点的等腰三角形，可得an+cn=2n，由此可求数列{an}，{cn}的通项公式；（2）若等腰三角形AnBnCn为直角三角形，则|AnCn|=2bn，由此可知存在n=2，使等腰三角形A2B2C2为直角三角形；
（3）
===（-），从而可求Sn=（1-），进而可知≤Sn＜．解答：（1）解：∵y=
x2，∴y′=，y′|x=n=，∴点Bn（n，bn）作抛物线y=
x2的切线方程为：y-=（x-n），令y=0，则x=
，即an=；（3分）∵点An，Bn，Cn构成以点Bn为顶点的等腰三角形，
∴an+cn=2n，∴cn=2n-an=
（5分）（2）解：若等腰三角形AnBnCn为直角三角形，则|AnCn|=2bn?
∴n=
，∴n=2，∴存在n=2，使等腰三角形A2B2C2为直角三角形 （9分）
（3）证明：∵
===（-）（11分）∴Sn=
（1-+-+…+-）=（1-）＜又1-
随n的增大而增大，∴当n=1时，Sn的最小值为：
（1-）=，∴
≤Sn＜（14分）点评：本题考查导数的几何意义，考查裂项法求数列的和，考查不等式的证明，考查数列与解析几何的综合，属于中档题．
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