Question

第一题满分4分，第二题满分6分，第三题满分8分．
已知椭圆C的长轴长是焦距的两倍，其左、右焦点依次为F₁、F₂，抛物线M：y²=4mx（m＞0）的准线与x轴交于F₁，椭圆C与抛物线M的一个交点为P．
（1）当m=1时，求椭圆C的方程；
（2）在（1）的条件下，直线l过焦点F₂，与抛物线M交于A、B两点，若弦长|AB|等于△PF₁F₂的周长，求直线l的方程；
（3）是否存在实数m，使得△PF₁F₂的边长为连续的自然数．

Answer 1

【答案】分析：（1）因为椭圆C的长轴长是焦距的两倍，所以可求出a，b的关系，当m=1时，可知抛物线的方程，进而求出抛物线的准线方程，因为抛物线M：y²=4mx（m＞0）的准线与x轴交于F₁，所以可以得到c的值，再根据椭圆中a，b，c的关系，即可求出椭圆方程．
（2）设出直线l的点斜式方程，与椭圆方程联立，利用弦长公式求出弦|AB|的长，因为弦长|AB|等于△PF₁F₂的周长，
可求出直线l的斜率，进而求出直线l的方程．
（3）先假设存在实数m，使得△PF₁F₂的边长为连续的自然数．则可用含m的方程表示椭圆与抛物线，联立，解得P点坐标，利用焦半径公式求出△PF₁F₂的三边长，再根据假设求m，若能求出，则假设正确，若求不出，则假设不正确．
解答：解：（1）设椭圆的实半轴长为a，短半轴长为b，半焦距为c，
当m=1时，由题意得，a=2c=2，b²=a²-c²=3，a²=4，
所以椭圆的方程为．
（2）依题意知直线l的斜率存在，设l：y=k（x-1），由得，k²x²-（2k²+4）x+k²=0，由直线l与抛物线M有两个交点，可知k≠0．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由韦达定理得，则（6分）又△PF₁F₂的周长为2a+2c=6，所以，
解得，从而可得直线l的方程为
（3）假设存在满足条件的实数m，
由题意得c=m，a=2m⇒b²=3m²，所以椭圆C的方程为
联立解得即．
所以，，|F₁F₂|=2m，
即△PF₁F₂的边长分别为、、，显然|PF₂|＜|F₁F₂|＜|PF₁|，
所以，故当m=3时，使得△PF₁F₂的边长为连续的自然数．
点评：本题主要考查了椭圆方程的求法，直线与椭圆位置关系的判断．