Question

设f（x）=

1+x

1-x

，又记f₁（x）=f（x），f_k+1（x）=f（f_k（x）），k=1，2，…，则f₂₀₀₉（x）=（　　）

• A、-

  1

  x

• B、x
• C、

  x-1

  x+1

• D、

  1+x

  1-x

Answer 1

分析：先由f（x）=

1+x

1-x

以及f₁（x）=f（x），f_k+1（x）=f（f_k（x）），求出f_k（x）的前几项，得到其周期为4，即可求得结论．

解答：解：因为f（x）=

1+x

1-x

，且f₁（x）=f（x），f_k+1（x）=f（f_k（x）），
所以有：f₂（x）=f（f₁（x））=f（

1+x

1-x

）=

1+ 1+x 1-x

1- 1+x 1-x

=-

1

x

；
f₃（x）=f（f₂（x））=f（-

1

x

）=

1- 1 x

1+ 1 x

=

x-1

x+1

；
f₄（x）=f（f₃（x））=f（

x-1

x+1

）=

1+ x-1 x+1

1- x-1 x+1

=x．
所以f_k（x）的周期为4，又2009=4×1002+1
故f₂₀₀₉（x）=f₁（x）=

1+x

1-x

故选D．

点评：本题主要考查数列递推式的应用．解决本题的关键在于由前几项得到其循环周期为4．