Question

已知二次函数，且f（0）=0，f（x+1）=f（x）+x+1，
（1）求f（x）
（2）利用单调性的定义证明f（x）在x∈（1，2）为单调递增函数．
（3）求f（x）在区间x∈（t，t+1）上的最值．

Answer 1

解：（1）设f（x）=ax²+bx+c，
由f（0）=0，得c=0，f（x+1）=f（x）+x+1，即a（x+1）²+b（x+1）+c=ax²+bx+c+x+1，
也即ax²+（2a+b）x+a+b=ax²+（b+1）x+1，
所以有，解得，
所以．
（2）设1＜x₁＜x₂＜2，
则f（x₁）-f（x₂）=，
∵1＜x₁＜x₂＜2，∴x₁-x₂0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
所以f（x）在（1，2）上为增函数；
（3）①若t+1≤-，即t≤-，f_max（x）=f（t）=取不到，f_min（x）=f（t+1）=；
②若即-＜t＜-，，
当d₁≥d₂即t≤-1时，f_max（x）=f（t）=取不到，f_min（x）=f（-）=-，
当d₁＜d₂即t＞-1时，f_max（x）=f（t+1）=取不到，；
③若t≥-，f_max（x）=f（t+1）=取不到，取不到．
综上，当t≤-或t时，f（x）没最大值也没最小值，当-＜t＜-时，最小值为-，无最大值．
分析：（1）待定系数法：设f（x）=ax²+bx+c，由f（0）=0可得c值，由f（x+1）=f（x）+x+1可得关于a，b的方程组，解出即可；
（2）设1＜x₁＜x₂＜2，根据增函数的定义只需证明f（x₁）＜f（x₂），通过作差即可证明；
（3）根据对称轴与区间的位置关系，分三种情况讨论：①若t+1≤-，②若，③若t≥-，借助图象即可求得最值；
点评：本题考查二次函数解析式的求法、二次函数单调性的证明及二次函数在闭区间上的最值问题，考查数形结合思想，属中档题，深刻理解“三个二次”间的关系是解决二次函数问题的关键．