Question

(13分)已知，，数列满足，， ．

      （Ⅰ）求证：数列是等比数列；

（Ⅱ）当n取何值时，取最大值，并求出最大值；

（III）若对任意恒成立，求实数的取值范围．

Answer 1

解析：（I）∵，，，

        ∴．

        即．

        又，可知对任何，，

所以．……………………………2分

        ∵，

      ∴是以为首项，公比为的等比数列．………4分

    （II）由（I）可知=  （）．

        ∴．

        ．……………………………5分

         当n=7时，，；

         当n<7时，，；

         当n>7时，，．

∴当n=7或n=8时，取最大值，最大值为．……8分

  （III）由，得       （*）

        依题意（*）式对任意恒成立，

        ①当t=0时，（*）式显然不成立，因此t=0不合题意．…………9分

　　　　　②当t<0时，由，可知（）．

　　　　　　而当m是偶数时，因此t<0不合题意．…………10分

　　　　　③当t>0时，由（）,

∴　∴．    （）……11分

　　　　　　设     （）

　　　　　　∵ =,

　　　　　　∴．

　　　　　　∴的最大值为．

　　　　　　所以实数的取值范围是．…………………………………13分