Question

如图，已知BA是⊙O的直径，AD是⊙O的切线，割线BD、BF分别交⊙O于C、E，连接AE、CE．
（1）求证：C、E、F、D四点共圆；
（2）求证：BE•BF=BC•BD．

Answer 1

分析：（1）利用对角互补，四点共圆，即证明∠DCE+∠DFE=180°；
（2）利用C、E、F、D四点共圆，证明△BCE∽△BFD，即可得到结论．

解答：证明：（1）∵BA是⊙O的直径
∴∠EBA+∠EAB=90°
∵A、B、C、E四点共圆
∴∠DCE=∠EAB
∵AD是⊙O的切线
∴∠DAB=90°
∵∠DFE=∠EBA+∠DAB
∴∠DCE+∠DFE=∠EAB+∠EBA+∠DAB=180°
∴C、E、F、D四点共圆；
（2）∵C、E、F、D四点共圆
∴∠BCE=∠D
∵∠CBE=∠FBD
∴△BCE∽△BFD
∴

BE

BD

=

BC

BF

∴BE•BF=BC•BD．

点评：本题考查圆的性质，考查四点共圆，考查三角形相似，属于中档题．