Question

设函数f(x)=

mx+2

x-1

的图象关于直线y=x对称．
（1）求m的值；
（2）判断并证明函数f（x）在区间（1，+∞）上的单调性；
（3）若直线y=a（a∈R）与f（x）的图象无公共点，且f(|t-2|+

3

2

)＜2a+f(4a)，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由函数f(x)=

mx+2

x-1

的图象关于直线y=x对称，知道原函数与反函数解析式一样，从而求出m的值；
（2）利用定义法证明，函数f（x）在区间（1，+∞）上的单调性；
（3）根据f（x）的值域求其a的值，再由第二问函数f（x）在区间（1，+∞）上的单调递减，求出t的范围；

解答：解：（1）∵函数f(x)=

mx+2

x-1

的图象关于直线y=x对称
∴f-1(x)=

x+2

x-m

∴m=1（5分）
（2）函数f(x)=

x+2

x-1

在区间（1，+∞）上单调递减     （6分）
设x₁，x₂∈（1，+∞），且x₁＜x₂则：f(x1)-f(x2)=

2(x2-x1)

(x1-1)(x2-1)

＞0（8分）
∴f(x)=1+

3

x-1

在（1，+∞）上的单调递减    （10分）
（3）∵函数f(x)=

x+2

x-1

=1+

3

x-1

∴函数f(x)=

x+2

x-1

的值域是（-∞，1）∪（1，+∞）
∵直线y=a（a∈R）与f（x）的图象无公共点
∴y=1，
得a=1，（12分）
又f(|t-2|+

3

2

)＜4=f(2)，
∵f（x）在区间（1，+∞）上单调递减，
∴|t-2|+

3

2

＞2
∴t＜

3

2

或t＞

5

2

．

点评：此题主要考查反函数的定义，函数单调性的证明及其应用，第三问求a的值，是利用函数f（x）的值域来求，想法比较新颖，是一道好题．