Question

设函数f（x）=2ax-

b

x

+lnx
（Ⅰ）若f（x）在x=1，x=

1

2

处取得极值，
    （i）求a、b的值；
    （ii）在[

1

4

，2]存在x₀，使得不等式f（x₀）-c≤0成立，求c最小值
（Ⅱ）当b=a时，若f（x）在（0，+∞）上是单调函数，求a的取值范围．（参考数据e²≈7.389，e³≈20.08）

Answer 1

分析：（I）（i）先对函数进行求导，根据函数在x=1，x=

1

2

取得极值，则f′(1)=0，f′(

1

2

)=0，代入可求a，b的值．
（ii）转化为c≥f（x）_min，从而求函数f（x）在区间[

1

4

，2]上的最小值，从而求c的值
（II）当a=b时，f（x）=2ax-

a

x

+lnx
①a=0符合条件
②a≠0时，分a＞0，a＜0讨论f′（x）在（0，+∞）上的正负，以确定函数的单调性的条件，进而求出a的取值范围

解答：解：（I）（1）∵f(x)=2ax-

b

x

+1nx，∴f′(x)=2a+

b

x2

+

1

x

．（1分）
∵f（x）在x=1，x=

1

2

处取得极值，∴f′(1)=0，f′(

1

2

)=0（2分）
即

2a+b+1=0 2a+4b+2=0

解得

a=- 1 3 b=- 1 3

∴所求a、b的值分别为-

1

3

，-

1

3

（4分）

（ii）在[

1

4

，2]存在x_o，使得不等式f（xo）-c≤0成立，只需c≥[f（x）]min，
由f′(x)=-

2

3

x-

1

3x2

+

1

x

=-

2x2-3x+1

3x2

=-

(2x-1)(x-1)

3x2

，
∴当x∈[

1

4

，

1

2

]时，f'（x）＜0，故f（x）在[

1

4

，

1

2

]是单调递减；
当x∈[

1

2

，1]时，f'（x）＞0，故f（x）在[

1

2

，1]是单调递增；
当x∈[1，2]时，f'（x）＜0，故f（x）在[1，2]是单调递减；
∴f(

1

2

)是f（x）在[

1

4

，2]上的极小值．（6分）
f(

1

2

)=

1

3

+1n

1

2

=

1

3

-1n2f(2)=-

7

6

+1n2，
且f(

1

2

)-f(2)=

3

2

-1n4=1ne

3

2

-1n4，
又e³-16＞0，∴1ne

3

2

-1n4＞0，
∴[f（x）]min=f（2），∴c≥[f(x)]min=-

7

6

+1m2，∴c的取值范围为[-

7

6

+1n2，+∞)，
所以c的最小值为-

7

6

+1n2．（9分）

（Ⅱ）当a=b时，f'（x）=

2ax2+x+a

x2

，
①当a=0时，f（x）=1nx．则f（x）在（0，+∞）上单调递增；
②当a＞0时，∵x＞0，∴2ax2+x+a＞0，∴f'（x）＞0，则f（x）在（0，+∞）上单调递增；
③当a＜0时，设g（x）=2ax2+x+a，只需△≤0，从面得a≤-

2

4

，此时f（x）在（0+∞）上单调递减；
综上得，a的取值范围是(-∞，-

2

4

]∪[0，+∞)．（14分）

点评：本题（I）（i）考查了函数取得极值的性质：若函数在x₀处取得极值?则f（x₀）=0，但f′（x₀）=0，x₀不一定是函数的极值点，即某点的导数为0是该点为极值的必要不充分条件．
（ii）注意是“存在”x0∈[

1

4

，2]，使得c≥f（x₀）成立?c≥f（x₀）_min；
若是“任意”x∈[

1

4

，2]使得c≥f（x）恒成立?c≥f（x）_max，要区别两种不同的情况．
（II）结合极值考查函数的单调性，需要注意分类讨论的思想在解题中的应用．