Question

如图，AE⊥平面ABC，AE∥BD，AB=BC=CA=BD=2AE，F为CD中点．
（Ⅰ）求证：EF⊥平面BCD；
（Ⅱ）求二面角C-DE-A的大小．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）取BC中点G点，连接AG，FG，可证四边形EFGA为平行四边形，AE⊥平面ABC，AE∥BD，可证得BD⊥平面ABC，
继而可证得AG⊥平面BCD，由线面垂直的性质即可证得EF⊥平面BCD；
（Ⅱ）取AB的中点O和DE的中点H，分别以OC、OB、OH所在直线为x、y、z轴建立如图空间直角坐标系，设AB=2a，可求得C、D、E、A的坐标，从而可求得=（-a，a，2a），=（0，2a，a），设面CDE的法向量=（x，y，z），由可取得=（，-1，2），取面ABDE的法向量=（1，0，0），利用向量的夹角公式即可求得面角C-DE-A的大小．
解答：证明：（Ⅰ）取BC中点G点，连接AG，FG，
∵F，G分别为DC，BC中点，
∴FG∥BD且FG=BD，又AE∥BD且AE=BD，
∴AE∥FG且AE=FG，
∴四边形EFGA为平行四边形，
∴EF∥AG，
∵AE⊥平面ABC，AE∥BD，
∴BD⊥平面ABC，
又∵DB?平面BCD，
∴平面ABC⊥平面BCD，
∵G为 BC中点，且AC=AB，
∴AG⊥BC，
∴AG⊥平面BCD，
∴EF⊥平面BCD．（6分）
（Ⅱ）取AB的中点O和DE的中点H，分别以OC、OB、OH所在直线为x、y、z轴建立如图空间直角坐标系，设AB=2a，则C（a，0，0），D（0，a，2a），E（0，-a，a），A（0，-a，0），=（-a，a，2a），=（0，2a，a）．
设面CDE的法向量=（x，y，z），则
取=（，-1，2），（8分）
取面ABDE的法向量=（1，0，0），（10分）
由cos＜，＞===，
故二面角C-DE-A的大小为arccos．（12分）
点评：本体考查直线与平面垂直的判定，考查二面角的平面角及求法，突出考查线与平面垂直的判定与性质的综合应用，考查向量法解决立体几何问题，考查综合分析与运算能力，属于难题．