题目内容

设△ABC三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量 $数学公式$ =（a，2b）， $数学公式$ =（sinA，1），且 $数学公式$ ∥ $数学公式$ ．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若△ABC是锐角三角形， $数学公式$ =（cosA，cosB）， $数学公式$ =（1，sinA-cosAtanB），求 $数学公式$ • $数学公式$ 的取值范围．

解：（Ⅰ）∵ $\text{[math]}$ =（a，2b）， $\text{[math]}$ =（sinA，1），且 $\text{[math]}$ ∥ $\text{[math]}$ ，
∴a-2bsinA=0，由正弦定理得sinA-2sinBsinA=0．（3分）
∵0＜A，B，C＜π，∴sinB= $\text{[math]}$ ，得B= $\text{[math]}$ 或B= $\text{[math]}$ ．（6分）
（Ⅱ）∵△ABC是锐角三角形，
∴B= $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ =（cosA， $\text{[math]}$ ）， $\text{[math]}$ =（1，sinA- $\text{[math]}$ cosA），
于是 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =cosA+ $\text{[math]}$ （sinA- $\text{[math]}$ cosA）= $\text{[math]}$ cosA+ $\text{[math]}$ sinA=sin（A+ $\text{[math]}$ ）．（9分）
由A+C=π-B= $\text{[math]}$ 及0＜C＜ $\text{[math]}$ ，得A= $\text{[math]}$ -C∈（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）．
结合0＜A＜ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ＜A＜ $\text{[math]}$ ，得 $\text{[math]}$ ＜A+ $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ＜sin（A+ $\text{[math]}$ ）＜1，即 $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ ＜1．（12分）
分析：（Ⅰ）通过 $\text{[math]}$ ∥ $\text{[math]}$ ．得到a-2bsinA=0，由正弦定理求出sinB的值，然后求角B的大小；
（Ⅱ）先求 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ 的表达式sin（A+ $\text{[math]}$ ），利用三角形的内角和是180°，B的值，推出A的范围，A+ $\text{[math]}$ 的范围，然后确定 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ 取值范围．
点评：本题考查向量的数量积，正弦定理的应用，三角形内角和的应用，考查计算能力，是知识交汇题目，有难度但是不大，注意角的范围的确定．