题目内容
已知函数y=
•32x-1的图象恒过定点P,若幂函数f(x)=xa的图象也过点P.
(1)求实数a的值;
(2)试用单调性定义证明:函数f(x)在区间(0,+∞)内是减函数.
2 |
(1)求实数a的值;
(2)试用单调性定义证明:函数f(x)在区间(0,+∞)内是减函数.
分析:(1)先由幂函数f(x)=xa的图象经过点P(
,
),求出a;
(2)先在定义域上取值,再作差、变形,变形彻底后根据式子的特点,讨论判断符号、下结论.
1 |
2 |
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(2)先在定义域上取值,再作差、变形,变形彻底后根据式子的特点,讨论判断符号、下结论.
解答:解:(1)由已知P(
,
),
∴f(
)=
,
∴(
)a=
,
∴a=-
,
(2)f(x)=x -
设0<x1<x2,则有
f(x1)-f(x2)=x1 -
-x2 -
=
=
,
∵0<x1<x2,
∴x2-x1>0,
(
+
)>0,
所以f(x1)-f(x)>0,即f(x1)>f(x2)
所以函数f(x)在区间(0,+∞)上是单调递减函数.
1 |
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∴f(
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∴(
1 |
2 |
2 |
∴a=-
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(2)f(x)=x -
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2 |
设0<x1<x2,则有
f(x1)-f(x2)=x1 -
1 |
2 |
1 |
2 |
| ||||
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x2-x1 | ||||||
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∵0<x1<x2,
∴x2-x1>0,
x1x2 |
x1 |
x2 |
所以f(x1)-f(x)>0,即f(x1)>f(x2)
所以函数f(x)在区间(0,+∞)上是单调递减函数.
点评:本题主要考查了利用待定系数求解幂函数的函数解析式,考查了函数单调性的证明方法:定义法,关键是变形一定彻底,直到能明显的判断出符号为止.属于基础试题.

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