题目内容

已知函数y=
2
32x-1
的图象恒过定点P,若幂函数f(x)=xa的图象也过点P.
(1)求实数a的值;
(2)试用单调性定义证明:函数f(x)在区间(0,+∞)内是减函数.
分析:(1)先由幂函数f(x)=xa的图象经过点P(
1
2
2
),求出a;
(2)先在定义域上取值,再作差、变形,变形彻底后根据式子的特点,讨论判断符号、下结论.
解答:解:(1)由已知P(
1
2
2
),
∴f(
1
2
)=
2

∴(
1
2
a=
2

∴a=-
1
2

(2)f(x)=x -
1
2

设0<x1<x2,则有
f(x1)-f(x2)=x1 -
1
2
-x2 -
1
2
=
x2
-
x1
x1x2
=
x2-x1
x1x2
(
x1
+
x2
)

∵0<x1<x2
∴x2-x1>0,
x1x2
(
x1
+
x2
)
>0,
所以f(x1)-f(x)>0,即f(x1)>f(x2
所以函数f(x)在区间(0,+∞)上是单调递减函数.
点评:本题主要考查了利用待定系数求解幂函数的函数解析式,考查了函数单调性的证明方法:定义法,关键是变形一定彻底,直到能明显的判断出符号为止.属于基础试题.
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