Question

求下列函数的最值与值域：

（1）y=4-;(2)y=2x-;

(3)y=x+;(4)y=.

Answer 1

（1）当x=1时，y_min=2，当x=-1或x=3时，y_max=4.故值域为［2，4］.（2）函数有最大值1，无最小值，其值域为（-∞，1］(3) 函数的值域为（-∞，-4］∪［4，+∞），无最值(4) 无最大值.故值域为［，+∞）

解析:

（1）由3+2x-x²≥0得函数定义域为［-1，3］，又t=3+2x-x²=4-(x-1)².

∴t∈［0，4］，∈［0，2］，从而，当x=1时，y_min=2，当x=-1或x=3时，y_max=4.故值域为［2，4］.

（2） 方法一  令=t(t≥0),则x=.∴y=1-t²-t=-（t+²+.

∵二次函数对称轴为t=-,∴在［0，+∞）上y=-(t+²+是减函数，

故y_max=-(0+²+=1.故函数有最大值1，无最小值，其值域为（-∞，1］.

方法二  ∵y=2x与y=-均为定义域上的增函数，∴y=2x-是定义域为{x|x≤}上的增函数，

故y_max=2×=1,无最小值.故函数的值域为(-∞,1］.

(3)方法一  函数y=x+是定义域为{x|x≠0}上的奇函数,故其图象关于原点对称,故只讨论x＞0时,即可知x＜0时的最值.

∴当x＞0时,y=x+≥2=4，等号当且仅当x=2时取得.

当x＜0时，y≤-4,等号当且仅当x=-2时取得.

综上函数的值域为（-∞，-4］∪［4，+∞），无最值.

方法二   任取x₁,x₂,且x₁＜x₂,

因为f(x₁)-f(x₂)=x₁+-(x₂+)=

所以当x≤-2或x≥2时，f(x)递增,当-2＜x＜0或0＜x＜2时，f(x)递减.

故x=-2时，f(x)_最大值=f(-2)=-4,x=2时，f(x)_最小值=f(2)=4,

所以所求函数的值域为（-∞，-4］∪［4，+∞），无最大（小）值.

（4）将函数式变形为

y=,

可视为动点M（x,0）与定点A（0，1）、B（2，-2）距离之和，连结AB，则直线AB与x轴的交点（横坐标）即为所求的最小值点.

y_min=|AB|=，可求得x=时，y_min=.

显然无最大值.故值域为［，+∞）.