题目内容

某企业准备投产一批特殊型号的产品，已知该种产品的成本C与产量q的函数关系式为 $数学公式$ ．该种产品的市场前景无法确定，有三种可能出现的情况，各种情形发生的概率及产品价格p与产量q的函数关系式如下表所示：
市场情形概率价格p与产量q的函数关系式
好 0.4 p=164-3q
中 0.4 p=101-3q
差 0.2 p=70-4q
设L₁，L₂，L₃分别表示市场情形好、中差时的利润，随机变量ξ_k，表示当产量为q，而市场前景无法确定的利润．
（I）分别求利润L₁，L₂，L₃与产量q的函数关系式；
（II）当产量q确定时，求期望Eξ_k，试问产量q取何值时，Eξ_k取得最大值．

解：（I）根据所给的表格中的数据和题意写出
$\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ ．
同理可得 $\text{[math]}$ ．
$\text{[math]}$ ．
（II）由期望定义可知Eξ_q=0.4L₁+0.4L₂+0.2L₃
= $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ ．
可知Eξ_q是产量q的函数，设 $\text{[math]}$ ，
得f'（q）=-q²+100．令f'（q）=0解得q=10，q=-10（舍去）．
由题意及问题的实际意义可知，当q=10时，f（q）取得最大值，即Eξ_q最大时的产量为10．
分析：（I）根据所给的表格中的数据和题意可以写出利润L₁，L₂，L₃与产量q的函数关系式，整理合并同类项得到关于q的三次函数，写出自变量q的取值范围．
（II）写出期望的表示式，根据多项式的四则运算，写出最简形式，利用函数的导数求函数的最值，对函数求导，令导数等于0，解出q的值，确定这是函数的最大值．
点评：本题主要考查离散型随机变量的数学期望，利用导数求多项式函数最值等基础知识，考查运用概率和函数知识建模解决实际问题的能力，是一个综合题目．

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（Ⅱ）当产量q确定时，求期望Eξ_q，试问产量q取何值时，Eξ_q取得最大值．

（07年辽宁卷理）（12分）

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（II）当产量确定时，求期望；

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中	0.4
差	0.2

设分别表示市场情形好、中差时的利润，随机变量，表示当产量为，而市场前景无法确定的利润．

（I）分别求利润与产量的函数关系式；

（II）当产量确定时，求期望；

（III）试问产量取何值时，取得最大值．

（本小题满分12分）

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中	0.4
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设分别表示市场情形好、中差时的利润，随机变量，表示当产量为，而市场前景无法确定的利润．

（I）分别求利润与产量的函数关系式；

（II）当产量确定时，求期望；

（III）试问产量取何值时，取得最大值．

某企业准备投产一批特殊型号的产品，已知该种产品的成本与产量的函数关系式为

该种产品的市场前景无法确定，有三种可能出现的情况，各种情形发生的概率及产品价格与产量的函数关系式如下表所示：

市场情形	概率	价格与产量的函数关系式
好	0.4
中	0.4
差	0.2

设分别表示市场情形好、中差时的利润，随机变量，表示当产量为，而市场前景无法确定时的利润．

（I）分别求利润与产量的函数关系式；

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