Question

设，曲线在点处的切线与直线垂直.

(1)求的值;

(2) 若，恒成立，求的范围.

(3)求证：

 

Answer 1

【答案】

(1) 0. (2)  .

(3) 结合（2）时,成立.令

得到，

  

累加可得.

【解析】

试题分析：(1)求导数，并由得到的值; (2)恒成立问题，往往转化成求函数的最值问题.本题中设，即转化成.利用导数研究函数的最值可得.

(3) 结合（2）时,成立.令得到，

  

累加可得.

试题解析：(1)            2分

由题设，

，.                     4分

 (2) ,，，即

设，即.

                   6分

①若，，这与题设矛盾.         8分

②若方程的判别式

当，即时，.在上单调递减，

，即不等式成立.                                             9分

当时，方程，其根，，

当,单调递增，，与题设矛盾.

综上所述， .                               10分

(3) 由(2)知,当时, 时,成立.

 不妨令

所以，

           11分

              12分

累加可得

            14分

考点：导数的几何意义，利用导数研究函数的性质，利用导数证明不等式.