Question

如图，点P为矩形ABCD所在平面外一点，PA⊥平面ABCD，E，F分别为线段PB，PC的中点，且AD=4，PA=AB=2
（1）求直线EC和面PAD所成的角
（2）求点P到平面AFD的距离．

Answer 1

分析：（1）建立空间直角坐标系，求出平面PAD的法向量，利用向量的夹角公式，即可求直线EC和面PAD所成的角
（2）确定平面AFD的法向量，利用向量公式，可求点P到平面AFD的距离．

解答：解：（1）分别以AB，AD，AP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，4，0），D（0，4，0），P（0，0，2）
∴E（1，0，1），F（1，2，1），

EC

=(1，4，-1)
∵AB⊥平面PAD
∴平面PAD的法向量为

AB

=（2，0，0）
设直线EC与平面PAD所成的角为α，则sinα=

EC • AB

| EC || AB |

=

2

6

∴直线EC与平面PAD所成的角为arcsin

2

6

；
（2）由（1）可知

AF

=(1，2，1)，

AD

=(0，4，0)
设平面AFD的法向量为

n

=（x，y，z），点P到平面AFD的距离为d
由

AF • n =0 AD • n =0

，可得

x+2y+z=0 4y=0

，∴取

n

=（1，0，-1）
∵

AP

=(0，0，2)
∴d=

| AP • n |

| n |

=

2

．

点评：本题考查线面角，考查点到面的距离的计算，考查向量知识的运用，属于中档题．