题目内容

已知:长方体为对角线的中点,过的直线与长方体表面交于两点为长方体表面上的动点,则的取值范围是         

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解析试题分析:如图所示.

∵O为对角线AC1的中点,∴O(1,2,2).以下分类讨论:根据长方体的对称性和数量积的性质:取P点时只要取顶点和每个表面的中心即可.
①当点MN在上下两个面时.取P(0,0,0),设N(x,y,0),(0≤x≤2,0≤y≤4).则M(2-x,4-y,4).∴=x(2-x)+y(4-y)=-[(x-1)2+(y-2)2]+5,此时可得:的取值范围是[0,5].
取点P(1,0,2),=(1-x,4-y,-2),=(x-1,y,-2)
=-(x-1)2+y(4-y)-4=-[(x-1)2+(y-2)2],
由于0≤x≤2,0≤y≤4,∴-5≤≤0.
此时可得:的取值范围是[-5,0].
综上可得:的取值范围是[-5,5].
②当点MN在左右两个面时,的取值范围是[-5,5].
③当点MN分别上或下两个面、左或右时,的取值范围是[-8,8].
综上可得:的取值范围是[-8,8].
故应填入: [-8,8].
考点:1.长方体的对称性;2.数量积的性质.

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