题目内容

已知向量
a
=(2cos2x，
3)
，
b
=(1，sin2x)，函数f(x)=
a
．
b
，g(x)=
b
2．
（1）求函数g（x）的最小正周期；
（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且f（c）=3，c=1，ab=2
3
，且a＞b，求a，b的值．
分析：（1）根据向量的数量积表示出函数g（x）的解析式，然后根据余弦函数的二倍角公式降幂化为y=Acos（wx+ρ）的形式，根据T=
2π
w
可得答案．
（2）先根据向量的数量积表示出函数f（x）的解析式，然后化简为y=Asin（wx+ρ）的形式，将C代入函数f（x），根据f（c）=3求出C的值，再由余弦定理可求出a，b的值．
解答：解：（Ⅰ）g（x）=
b
2=1+sin22x=1+
1-cos4x
2
=-
1
2
cos4x+
3
2

∴函数g（x）的最小周期T=
2π
4
=
π
2

（Ⅱ）f（x）=
a
•
b
=(2cos2x，
3
)•(1，sin2x)=2cos2x+
3
sin2x
=cos2x+1+
3
sin2x=2sin（2x+
π
6
）+1
f（C）=2sin（2C+
π
6
）+1=3∴sin（2C+
π
6
）=1
∵C是三角形内角∴2C+
π
6
∈(
π
6
，
13π
6
)，∴2C+
π
6
=
π
2
即：C=
π
6

∴cosC=
b2+a2-c2
2ab
=
3
2
即：a2+b2=7
将ab=2
3
可得：a2+
12
a2
=7解之得：a2=3或4
∴a=
3
或2∴b=2或
3
，∵a＞b，∴a=2 b=
3
点评：本题主要考查三角函数最小正周期的求法和余弦定理的应用．属基础题．
练习册系列答案
相关题目
已知向量a=（tanx，1），b=（sinx，cosx），f（x）=a•b．
（I）求函数f（x）的解析式及最大值；
（II）若f(x)=
5
4
，求2cos2(
π
4
+x)-1的值．
已知向量
a
=(1-2cos2
ωx
2
，  1)，
b
=（-1，cos（ωx+
π
3
）），ω＞0，点A、B为函数f(x)=
a
•
b
的相邻两个零点，AB=π．
（1）求ω的值；
（2）若f(x)=
3
3
，x∈(0，
π
2
)，求sinx的值；
（3）求g(x)=f(x)-
3
2
x在区间[0，2π]上的单调递减区间．
已知向量
a
=(1-2cos2
ωx
2
，  1)，
b
=（-1，cos（ωx+
π
3
）），ω＞0，点A、B为函数f(x)=
a
•
b
的相邻两个零点，AB=π．
（1）求ω的值；
（2）若f(x)=
3
3
，x∈(0，
π
2
)，求sinx的值；
（3）求g(x)=f(2x)-
3
x在区间[0，  
3π
2
]上的单调递减区间．
（2013•湖南模拟）已知向量
a
=(sinx，2co
s
2
 
x)，
b
=(2
3
cosx，-1)，函数f(x)=
a
•
b
+1．
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）将函数y=f（x）的图象上所有点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的
1
2
倍；再把所得到的图象向左平移
π
6
个单位长度，得到函数y=g（x）的图象，求函数y=g（x）在区间[-
π
6
，
π
12
]上的值域．
已知向量
a
=(sinx，2co
s2 
x)，
b
=(2
3
cosx，-1)，函数f(x)=
a
•
b
+1．
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）将函数y=f（x）的图象上所有点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的
1
2
倍；再把所得到的图象向左平移
π
6
个单位长度，得到函数y=g（x）的图象，求函数y=g（x）在区间[-
π
6
，
π
12
]上的值域．

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