Question

已知a≠0，函数，g（x）=-ax+1，x∈R．
（I）求函数f（x）的单调递减区间；
（Ⅱ）若在区间上至少存在一个实数x，使f（x）＞g（x）成立，试求正实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）对函数f（x）进行求导，当f'（x）＜0时的x的区间即是原函数的单调递减区间．
（2）令F（x）=f（x）-g（x），只要函数F（x）在区间（0，]上的最大值大于0即可得到答案．
解答：解：（I）由求导得，f'（x）=a²x²-2ax．
①当a＞0时，由，解得
所以在上递减．
②当a＜0时，由可得
所以在上递减．
综上：当a＞0时，f（x）单调递减区间为；
当a＜0时，f（x）单调递减区间为
（Ⅱ）设．
对F（x）求导，得F'（x）=a²x²-2ax+a=a²x²+a（1-2x），
因为，a＞0，所以F'（x）=a²x²+a（1-2x）＞0，F（x）在区间上为增函数，则．
依题意，只需F（x）_max＞0，即，
即a²+6a-8＞0，解得或（舍去）．
所以正实数a的取值范围是．
点评：本题主要考查通过求导求函数增减性的问题．当导数大于0时原函数单调递增，当导数小于0时原函数单调递减．